miércoles, 9 de julio de 2008

TRIGONOMETRÍA OTROS TRIÁNGULOS

REPÚBLICA DE PANAMÁ
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
MEDUCA
INSTITUTO DR. ALFREDO CANTÓN


GUÍA DE ESTUDIO AUTÓNOMO # 2



I. DATOS GENERALES.
1. Asignatura: Matemática XI Módulo XI
2. Profesor: Samuel A. Castillo R.
3. Área: Trigonometría.
4. Tema: Solución de triángulos oblicuángulos
5. Fecha de ejecución:
6. Valor:
7. Bibliografía: Trigonometría Fredd Spark. Trigonometría. Earl Swokowski
Límite I. Vicen Vives



II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Resolver triángulos oblicuángulos.



III. ACTIVIDADES Y ASIGNACIONES

1. Leer reflexivamente el material de apoyo sobre los temas detallados a continuación:


Trigonometría
 Solución de triángulos oblicuángulos
 Ley del seno
 Ley del coseno


2. Resolver las prácticas propuestas.

3. Estudiar el material sistemáticamente para realizar una prueba parcial.

IV. CONTENIDO
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.

Para resolver un triángulo cualquiera es necesario conocer tres elementos siendo por lo menos uno de ellos un lado. Es decir que se nos puede presentar las siguientes opciones:
- Caso a: dos ángulos y un lado.
- Caso b: dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
- Cado c: dos lados y el Angulo comprendido entre ellos.
- Cado d: tres lados.
Para calcular un elemento desconocido de un triángulo, es necesaria una fórmula que comprenda los tres elementos conocidos y el desconocido.


A. LEY DEL SENO
Consideremos un triángulo de ángulos A, B, Y C, y tres lados opuestos a, b, y c respectivamente.

Trazaremos una perpendicular desde cualquiera de los vértices hasta el lado opuesto o a la prolongación del lado opuesto (altura) y llamaremos D al punto de intersección y h la longitud de la perpendicular.










Busquemos la altura “h” en los triángulos que se han formado.

de donde obtenemos h = a Sen C

de donde obtenemos h = a Sen A

Este resultado lo hemos obtenido al trazar la altura desde B. Si trazáramos la altura desde otro vértice por ejemplo A, se obtiene

De donde se concluye en: conocida como: Ley del Seno.

LEY DEL SENO: en un triángulo cualquiera, las razones obtenidas al dividir cada lado entre el seno del ángulo opuesto, son iguales.

Se aplicará cuando se conozca:
- caso a: dos ángulos y un lado
- caso b: dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Observación: en el caso b, el problema puede tener 2 soluciones. (ver el ejemplo resuelto # 2)


B) LEY DEL COSENO

Consideremos un triángulo de ángulos A, B, Y C, y tres lados opuestos a, b, y c respectivamente.

Trazaremos una perpendicular desde cualquiera de los vértices hasta el lado opuesto o a la prolongación del lado opuesto (altura) y llamaremos D al punto de intersección y h la longitud de la perpendicular.










Consideremos el teorema de Pitágoras para el triángulo ADB:

c2 = h2 + (b + DC)2 (ecuación 1)

Como BDC es un triángulo rectángulo se obtiene:
h = a SenC (ecuación 2)
DC = -a CosC (ecuación 3) (negativo porque C es mayor de 90º y esta C2)

Ahora sustituimos las ecuaciones 2 y 3 en la 1:

c2 = h2 + (b + DC)2
c2 = (a SenC)2 + (b – a CosC)2
c2 = a2Sen2C + b2 – 2ab CosC + a2 CosC
c2 = a2 (Sen2C + Cos2C) + b2 – 2ab CosC
c2 = a2 + b2 – 2ab CosC

Si trazamos la perpendicular desde los otros vértices y repitiendo el procedimiento se obtiene: a2 = b2 + c2 – 2bc CosA y b2 = a2 + c2 – 2ac CosB

Estas tres ecuaciones reciben el nombre de la LEY DEL COSENO.

a2 = b2 + c2 – 2bc CosA b2 = a2 + c2 – 2ac CosB c2 = a2 + b2 – 2ab CosC
LEY DEL COSENO: el cuadrado de un lado cualquiera de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

Se aplicará cuando:
- caso c: dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
- Caso d: tres lados.


PROBLEMAS RESUELTOS.

Ejemplo # 1: resolver el triángulo A = 35º 26’ B = 47º 34’ a = 13.24










Se conocen 2 ángulos y un lado por lo tanto se aplica la ley del seno.



13.24 Sen 47º 34’ = b Sen 35º 26’



16.86 = b

Para obtener el lado restante se emplea cualquiera de las dos leyes obteniendo c = 22.67






Ejemplo # 2: resolver el triángulo b = 246 a = 197 A = 48º 10’










Se conocen 2 lados (a y b) y un ángulo opuesto a uno de los lados. Por lo tanto se aplica la ley del seno.



197 Sen B = 246 Sen 48º 10’




EJEMPLO # 3. Resolver el triángulo a=20; b =30, C = 11º









Se tiene 2 lados y el ángulo comprendido, por lo tanto emplearemos la ley del coseno.













PRÁCTICA # 2
RESUELVA LOS TRIÁNGULOS

1) a = 10 b = 12 C = 35º 40’
2) a = 7 b= 6 c = 4
3) A = 52º30’ B = 78º12’ c = 300.5
4) b = 25 c= 15 A = 45º
5) a = 17.44 b = 12 C = 36º 35’
6) a = 13 A = 20º B = 60º
7) a = 31.88 c = 35º B = 30º 47’
8) b = 23.86 A = 53º C = 96º
9) a = 124 b = 162 c = 200
10) b = 7 c= 4 C = 25º
11) a = 10.98 c = 11.36 A = 72º 19’
12) b = 8.25 b=7.63 A = 88º
13) a = 632.7 b = 82.46 C = 83º 23’
14) a = 30.52 b=24.37 c = 56º 13’
15) a = 624 c = 532 B = 122º
16) a = 3.141 b= 2.163 B = 122º
17) a = 50 c = 110 C = 150º’
18) a = 0.3214 b= 0.6217 C=43º 12’
19) b = 0.9813 c = 1.021 C = 78º 19’
20) a = 60 c= 30 B = 40º

C. Problemas de aplicación.

1. Los puntos B y C quedan en lados opuestos de un pantano. El punto A, accesible a B y a C queda en una orilla se mide AB, AC y el ángulo BAC, obteniéndose: AB = 2000 metros, AC = 3000 metros, y el ángulo BAC = 30º. Calcular la distancia de B a C.

2. Una escalera de 6.1 metros de longitud, esta recostada sobre un muro inclinado, de manera que alcanza una altura de 5 metros sobre dicho muro. Si la parte inferior de la escalera está a 2.5 metros de la base del muro, cual es la inclinación de éste. Respuesta. 103.79º

3. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 64º, un poste telefónico que esta inclinado 9º respecto a la vertical, hacia el sol, produce una sombra de 21 pies de longitud. Determine la longitud del poste. Respuesta33 pie.

4. Hallar la longitud del puente.





5. Hallar la altura de la montaña de la figura que se presenta a continuación:


6. Hallar la altura a la que se encuentra el globo de observación:


7. Un pueblo queda a un kilómetro al este de una carretera que va de norte a sur y se comunica con ella por medio de dos caminos cuyos rumbos, a partir del pueblo; son S 34º 40’ O y N 28º 50’ O. Un vendedor que va por la carretera en dirección norte decide pasar por el pueblo dejando la carretera y tomando por el primer camino y retornando a ella por el segundo camino. Calcúlese aproximadamente el exceso de camino recorrido por haber pasado por el pueblo.

8. Un porte vertical situado en una pendiente que forma un ángulo de 7º con la horizontal, proyecta hacia abajo de la pendiente una sombra de 36.3m de longitud. Si el ángulo de elevación del sol es de 26º, calcular la longitud del poste. Respuesta… 13.1


9. Se desea instalar el tendido eléctrico en un área rural; por lo cual se quiere conocer la longitud del cable eléctrico entre los dos postes.