TEMA # 1: LA PARABOLA

“El Que No Conoce La Matemática Muere Sin Conocer La Verdad Científica”. Schelbach.


LA PARÁBOLA

En esta sección del trabajo presentaremos una de las cónicas, la cual recibe el nombre de Parábola.

En el desarrollo del tema encontraran una serie de problemas, en donde algunos están resueltos y otros propuestos sólo como conocimientos y análisis. Además describimos algunas aplicaciones de la parábola en nuestro medio geográfico.
También deduciremos la ecuación y presentaremos las formas que tiene la parábola.


CONSTRUCCIÓN DE LAS PARÁBOLAS

Por Doblado de Papel

La parábola la estudiaremos inicialmente con el doblado de papel:

1. Tracemos un segmento de recta LL’. (Preferiblemente a la izquierda de la hoja).
2. Doblemos la hoja, de forma tal que coincidan los extremos del segmento.
3. Trace una línea “S” sobre el dobles, esta línea es perpendicular al segmento inicial.
4. Marque un punto F sobre la línea “S”. (no tome el punto muy lejos de LL’).
5. Marque un punto de LL’ y doble el papel de forma que este punto coincida con el punto F.
6. Repita el paso anterior tomando diferentes puntos a lo largo de LL’. (entre más puntos de LL’ tome, mejor se apreciará la figura)
7. Observe la figura que se forma.

Utilizando Regla y Compás.

1. Tracemos un segmento de recta LL’. (preferiblemente a la izquierda de la hoja).
2. Trace una perpendicular “S” a LL’.(el punto de corte de las perpendiculares llámelo O)
3. Marque un punto F sobre “S”.
4. Tome el compás y haga una abertura igual a la mitad de la distancia OF, y situando el pivote del compás sobre “o” marque sobre la recta “S” la distancia obtenida.
5. Abrimos el compás con una abertura mayor a la anterior, colocamos el pivote en “O” y marcamos en donde corta LL’. (no mueva la abertura del compás)
6. Colocamos ahora el pivote del compás en los puntos marcados en LL’ y trazamos un arco de circunferencia.(Todavía no cambie la abertura del compás)
7. Trasladamos el pivote a “F” y trazamos un arco de circunferencia que intercepta a los que se hicieron anteriormente. Resalte estos puntos.
8. Repita el procedimiento 5,6,7, hasta que se obtenga una gran cantidad de puntos.(6-10)
9. Una los puntos que resalto y observe la figura que se forma.




APLICACIONES


Para demostrar la aplicación que tiene la parábola en nuestro medio de vida les presentaremos los siguientes problemas de aplicación.

Problemas de aplicación número 1



Uno de los arcos parabólicos que se forma en la entrada principal de la iglesia San Antonio ubicada en Bethania, Arco que mide en su base 14 pulgadas y su altura máxima es de 15 pulgadas es colocado en un eje de coordenadas en donde 2 de los puntos por donde pasa la parábola es (-7,0) y (7,0) respectivamente, y el V (7,15) ¿Hallar la ecuación de dicho arco parabólico?

Otras Aplicaciones

Parábola: Un cuerpo lanzado con cualquier inclinación describe una trayectoria parabólica. Pero es el centro de gravedad de que recorre la parábola, no el cuerpo.




Se llega al caso extremo de una granada que estalla en el aire: el centro de gravedad de los trozos de metralla sigue, imperturbable, una curva parabólica determinada ya en el instante del disparo.

La parábola tiene la siguiente propiedad de reflexión:
Cuenta Plutarco que Arquímedes fue capaz de incendiar las naves de los romanos, que asediaban la ciudad de Siracusa, utilizando unos espejos móviles parabólicos llamados Ustorios o quemantes.
Estos espejos son superficies engendradas por el giro de una parábola alrededor de su eje.

Todo consiste en orientar el eje hacia el sol.
Cuando la nave avanza y corta el plano sol- eje, hasta girar el espejo hasta que foco y nave se encuentren.
En esta misma propiedad se basan las antenas de los radiotelescopios, que orientan el eje hacia la fuente de radiación concentrándola en el foco.
Los faros de los coches utilizan el mismo principio, pero a la inversa.
He aquí cómo puede trazarse una parábola utilizando circunferencias concéntricas en el foco, y rectas paralelas a la directriz.


DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA



FORMAS DE LA PARÁBOLA







PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar la ecuación de las parábolas siguientes:
a) foco(3,0) directriz x + 3 = 0
b) foco(0,6) directriz el eje x.
c) Vértice el origen, eje el de coordenadas x, y que pase por (3,-6)

2. Hallar la ecuación de la parábola de vértice(2,-3) y foco(1,3)

3. Dada las parábolas siguientes. Calcular a) las coordenadas del vértice, b) las coordenadas del foco. c) la longitud del lado recto. d) la ecuación de la directriz.
1) x2 – 4y + 6x –8 = 0
2) 3x2 – 9x – 5y – 2 = 0
3) y2 – 4y –6x + 13 = 0

4. Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje x y pase por los puntos (3,3) (6,5) y (6,-3)

5. V(3,-1) F(8,-1)
6. V(7,0) ecuación de la directriz y + 8 = 0
7. V(-2,4) F(2,4)
8. F(0,- ) , ecuación de la directriz 3y + 7 =0
9. V(-5,-1) F(-5,-7)
10. F(-3, ) , ecuación de la directriz 5y + 28 =0
11. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría el eje “x” y su lado recta mide 10. (dos respuestas).
12. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría el eje “x”, y pasa por (3,2)
13. Determine la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo a “y” su vértice es el punto (-3,5), y pasa por el punto (-1,6).
14. Transforma las ecuaciones de las siguientes parábolas a su forma ordinaria. A partir de ésta, determina: el vértice, foco y ecuación de la directriz.
a) y2 – 8x + 2y – 7 =0 b) x2 – 8y –32 =0 c) 5x2 – 10x + 120y – 67 =0
d) y2 – 8x =0 e) y2 + 4x – 4y – 8 = 0 f) x2 + 12x – 32y + 36 =0
g) 4y2 + 96x + 12y + 489= 0 h) 45y2 – 252x –60y + 1784 =0

15. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos dados.
a) (-3,0) (3,0) (0,5) eje paralelo a y. b) (0,0) (-1,3) (4,4) eje paralelo a x
c) (4,-2) (1,4) (-1,3) eje paralelo a y. d) (1,5) (-2,3) (-1,-4) eje paralelo a y.
e) ((0,2) (3,5) (2,-6) eje paralelo a x.





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TEMA # 2 ELIPSE

“Dios es el gran geómetra. Dios geometriza sin cesar” PLATÓN.

LA ELIPSE

En esta sección vamos a hacer un estudio de uno de las cónicas llamadas elipses. El estudio lo empezaremos presentando el siguiente aspecto histórico:

“El Jardinero y la Cuerda”
Toussaret fue un jardinero de la corte de Luis XVI de Francia, y era ya un viejo, con las espaldas encorvadas a fuerza de trabajar y sobre todo de hacer reverencias. Además de Toussaret, había muchos jardineros bajo el sol de Luis XVI, quien, pasó a la historia por su elegante modo de vivir. Realmente Toussaret no fue ningún jardinero del otro jueves, pero le haríamos enfermar del disgusto si dijéramos que fue un simple peón de jardinería. Por lo tanto, seguiremos hablando de Toussaret, el jardinero, aun a sabiendas de que nunca fue muy allá, y de que fue más bien un bicho raro: su propio maestro opinaba que mientras trabajaba dormía con los ojos abiertos.

En todo caso, podemos imaginarnos a Toussaret en un caluroso día de verano, arrastrando una carretilla por el parque de Versalles, con los útiles de trabajo para plantar en un rincón un macizo redondo de unas flores raras que los colonos de Québec habían enviado al rey.

En el lugar asignado, encontró también una estaquilla en el sitio donde el maestro quería que estuviese el centro. Además, le había dicho que el diámetro había de tener seis pasos de longitud; y como Toussaret no era precisamente famoso por su memoria, lo primero que hizo fue medir los seis pasos antes de que se le olvidara el numero. Después se puso a preparar la cuerda con la que iba a trazar el circulo.

En aquel entonces a los jardineros les resultaba más cómodo utilizar la cuerda doble, y variar su longitud mediante un nudo: así resulta un gran lazo, con el que se rodea la estaquilla; después se introduce en el también el aguijón, y con este se va trazando él circulo. Así lo hacia también Toussaret; Sólo que la desgracia, o la fortuna, como se le quiera llamar, hizo que le lazo que nuestro hombre arrojar a la estaquilla se enganchase también en un esqueje aislado, situado un par de pasos más allá, y que dicho sea de paso en descargo de Toussaret, muy bien podría pasar inadvertido a cualquiera.

Sin embargo, los que pasó después ya no era tan fácil que ocurriera a ningún otro jardinero que ocurriera a otro jardinero de la corte, no siendo al simple Toussaret. Como hemos dicho, la cuerda se quedó aprisionada en la segunda estaca; Toussaret fue lo bastante como para no darse cuenta, y trazó tranquilamente su línea; Quito la hierba, removió la tierra y la abono a conciencia. Por la tarde tenía un sorprendente sembrado de tierra negra y brillante que daba gloria verlo. No fue así, por cierto, como pensó el maestro jardinero, que se enojo cuando vio la figura de huevo macizo que Toussaret había preparado. Pero como el bandido se había ido ya a su casa, no le quedo mas remedio al, maestro que descargar su ira gritando en medio del apacible parque las más escogidas palabras de su interminable repertorio, muy apropiado, por cierto, a un jardinero real.

El escándalo distrajo al duque de Grandlieu, y le hizo bajar salir de sus obstinados pensamientos que para no desentonar de esta historia de círculos frustrados, giraban alrededor de la bella marquesa de P. Como por otra parte; el duque era amante también de los caballos, y estaba acostumbrado al lenguaje de las cuadras, el tono del jardinero lo predispuso favorablemente, y se acerco a enterarse de lo sucedido.

Lo que vio, sin embargo, no fue un macizo deforme, sino un trazado bastante grandioso; y es más: le recomendó al jardinero que se frotase los ojos, y admirase la armonía de la figura.


El maestro volvió su cólera, y su sentido de las formas, que al fin y al cabo le había llevado al puesto de mayor de la corte del Rococó. Le permitió darse cuenta de que Toussaret había hecho algo verdaderamente sobresaliente.

Entonces, el buen hombre se fue corriendo a la taberna de Kergarouet, en St.-Cloud, a la orilla del río, donde solía pasar Toussaret la tarde. Lo busco entre el humo de la taberna y al fin lo encontró jugando al mus cerca de la chimenea: se dejo caer junto al viejo, y pidió una botella para beberla a la salud del genio de la forma recién descubierta.

Sin embargo, todo ocurrió como tenia que ocurrir: Toussaret no se había dado cuenta de que pudiera haber hecho otra cosa que no fuera un círculo, y ni aun con la mejor voluntad pudo explicar como había conseguido el tazado de aquella magnifica figura.

Sea como fuese, Toussaret había vuelto a descubrir aquella maravillosa figura que los antiguos griegos conocieron bajo el nombre de elipse. Míseramente el descubrimiento de Toussaret se elevo como una cometa para desplomarse en la nada.

DOBLADO DEL PAPEL
Una vez hemos conocido como se formo la elipse presentaremos otra forma de obtener la elipse a través de lo que conoceremos como el doblado de papel.

Para formar la elipse por este método se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se toma una hoja de papel
2. Se traza una circunferencia
3. Se coloca un punto F cualquiera dentro de la circunferencia
4. Se marca un punto sobre 6 circunferencias.
5. Se dobla la hoja de forma tal que el punto de que el punto que esta sobre la circunferencia quede sobre el punto F.
6. Se marca la recta que se forma en el dobles.
7. Se toma otro punto sobre la circunferencia y se repiten los pasos 5 y 6.
8. Se repite el procedimiento continuamente hasta formar la elipse.

La figura que se forma es la siguiente.

Hay muchas formas de producir elipses
v Cada vez que bebemos agua en un vaso cilíndrico la superficie del contenido toma l forma de una elipse o cuando encendemos una linterna.

v Al reducir (o ampliar) proporcionalmente las cuerdas paralelas de una circunferencia aparece una elipse

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE

Para deducir la ecuación tomaremos la figura que se ha obtenido del jardinero y por el doblado de papel y trasladándola ha un eje de coordenadas.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

FORMAS DE LA ELIPSE:
Una vez encontrada la ecuación presentaremos una síntesis de dos formas en la cual se puede presentar la elipse:



Se puede observar en nuestro alrededor distintas formas en el cual se puede describir la elipse ya sea de una orbita, arcos, engranajes y otros ejemplos elípticos

Otras Aplicaciones

Las orbitas de los planetas, como demostró Kepler, son elipses con el sol en uno de sus focos, aunque su excentricidad es tan pequeña que se asemeja a una circunferencia.
La elipse tiene una interesante propiedad de reflexión.



Si se hace girar una elipse se obtiene una elipsoide. En una estancia de trecho elipsoidal cualquier susurro en uno de los focos es oído con nitidez en el otro, aunque alrededor haya bullicio. En Washington hay una cámara del eco construida con estas características. y si el techo fuera reflectante, una bombilla encendida en un foco bastaría para hacer arder una cerilla situada en el otro.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Cada una de las siguientes elipses esta en posición ordinaria y tiene su centro en el origen. Indicar cual es su ecuación, si satisface las condiciones adicionales dadas: Un vértice en (0,4), pasa por (1,2).

2. Determine la ecuación de la elipse de centro en el origen que satisfaga cada una de las siguientes condiciones; f(0,6) y e=1/2.

3. Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se indican:
a) Focos(±4,0), vértices(±5,0)
b) Longitud del lado recto = 5, vértices(±10,0)
c) Focos(0,±6), semieje menor = 8
d) Focos(±10,0), excentricidad

4. Hallar la ecuación de la elipse de centro (4,-1); uno de los focos es (1,-1) y que pase por el punto (8,0)
5. Hallar la ecuación de la elipse de centro(3,1); uno de los vértices (3,-2) y excentricidad
6. Hallar la ecuación de la elipse de focos(±8,0) y que pasa por el punto(8, )

7. Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, focos en el eje x, y que pase por los puntos(-3,2 ) y (4, ).

8. Hallar el lugar geométrico de los puntos (x,y) cuya distancias a los puntos fijos (2,-3) y (2,7) sea igual a 12.

9. Dada la ecuación 9x2 + 16y2 + 96y + 36 = 0. hallar a) las coordenadas del centro. b) El semieje mayor. c) El semieje menor. d) Los focos. e) La longitud del lado recto.

10. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (0,1)(1,-1)(2,2)(4,0) y cuyos ejes son paralelos a los de coordenadas.

Problemas de aplicación

1. Un arco de 80 metros de luz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altura máxima es de 30 metros, hallar la altura del arco en un punto situado a 15 metros del centro.

2. La Orbita dela tierra es una elipse el sol es uno de los focos, sabiendo que el semieje mayor de la elipse es de 148,5 millones de Km y la excentricidad 0,017 hallar la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol
3. El recorrido del lanzamiento de un proyectil describe una semielipse; El lugar de caída del proyectil esta a 16 Km del lugar de lanzamiento; si 0,4 Km antes del lugar de la caída, el proyectil estaba a una altura de 6 Km, ¿
6 km
4. Cada una de las siguientes elipses esta en posición ordinaria y tiene su centro en el origen. Indicar cual es su ecuación, si satisface las condiciones adicionales dadas: Un vértice en (0,4), pasa por (1,2).
5. Determine la ecuación d la elipse de centro en el origen que satisfaga cada una de las siguientes condiciones; f(0,6) y e=1/2.
6. Si una elipse tiene su centro en el origen, un foco en f (3,0) y un extremo del eje mayor en A (5,0), ¿Puede tener un extremo del eje menor en B(0,3)?, ¿Por que?.
7. La cuerda trazada por cualquier foco de una elipse y perpendicular a su eje mayor recibe el nombre de Latus Rectum de la elipse. Muestra que su longitud es 2b/a (aquí va un cuadrado al lado de la b)
8. Indique cuales son las ecuaciones de las elipses que están en una posición ordinaria, con centro en O y que satisfacen las siguientes condiciones: Eje mayor 6, eje menor 4. Eje mayor paralelo a “y”.

tema # 3:HIPERBOLA

APLICACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

Marchemos al espacio para observar un asteroide que vaga libremente. Su trayectoria será rectilínea (Ley de Newton) hasta que se vea perturbada por la proximidad de un planeta, por ejemplo, cuya tracción comienza a curvarlo.

En raros casos el asteroide, será “capturado ” por el planeta y caerá hacia él o pasara a moverse siguiendo una orbita elíptica a su alrededor. Pero lo más probable es que describa una trayectoria como la indicada: una rama de hipérbola.
La asíntota de la izquierda marca la trayectoria que tendría el asteroide sin la influencia del campo gravitatorio del planeta. La atracción, mayor a menor distancia, obliga al asteroide a cambiar cada vez más rápidamente de dirección. Cuando el asteroide se aleja del planeta decrece paulatinamente la atracción y el movimiento tiende, de nuevo, a ser rectilíneo: aparece la segunda asíntota.

Las rectas que unen los focos con cualquier punto de una hipérbola forman ángulos iguales con la tangente a la hipérbola en dicho punto. Por tanto, si la superficie de un reflector, es generada por la revolución de una hipérbola alrededor de su eje transverso, todos los rayos de luz provenientes del exterior que converjan sobre un foco, se reflejara pasando por el foco. Esta propiedad se emplea a veces en ciertos telescopios juntos con reflectores parabólicos.

La diferencia de los tiempos en que un sonido se oye en dos puestos de escucha distintos, es proporcional a las distancias que separan a las fuentes sonoras de los puestos de escucha. Se sabe, por lo tanto, que este punto está sobre una hipérbola.
Si se emplea un tercer puesto de escucha para poder determinar otra hipérbola. Si se escucha la fuente sonora esta en la intersección de las dos curvas. Consecuentes el concepto de hipérbola resulta útil en los cálculos de alcances balísticos.

La Ley de Boyle, pv= C, es una relación hipérbola. Esto mismo se puede afirmar de la relación que existe entre dos cantidades. Cualesquiera que sean inversamente proporcionales.

FORMAS DE LA HIPERBOLA

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.Hallar
a.Los vértices
b.Los focos
c.La excentricidad
d.El latus rectum; y las ecuaciones de las asíntotas de las hipérbolas siguientes:

A) 4x2 – 45y2 = 180
B) 9x2 – 16y2 – 36x – 32y – 124 = 0

2.Hallar la ecuación de la Hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, excentricidad 2 y la longitud del latus rectum igual a 18.

3.Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (-6, -4) y (2, -4) sea igual a 6.

4.Hallar la ecuación de la hipérbola de centro (0,0), un vértice en (3,0) y ecuación de una asíntotas 2x – 3y = 0.

5.Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices (±6,0) y asíntota 6y = ±7x.

6.Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje sobre los de coordenadas y que pase por los puntos (3,1) y (9,5).

7.Hallar la ecuación de la hipérbola con centro (-4,1), un vértice en (2,1) y semieje imaginario igual a 4.

8.Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas “y”, longitud del lado recto es 36 y la distancia entre los focos es 24.