TRIGONOMETRÍA OTROS TRIÁNGULOS

REPÚBLICA DE PANAMÁ
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
MEDUCA
INSTITUTO DR. ALFREDO CANTÓN


GUÍA DE ESTUDIO AUTÓNOMO # 2



I. DATOS GENERALES.
1. Asignatura: Matemática XI Módulo XI
2. Profesor: Samuel A. Castillo R.
3. Área: Trigonometría.
4. Tema: Solución de triángulos oblicuángulos
5. Fecha de ejecución:
6. Valor:
7. Bibliografía: Trigonometría Fredd Spark. Trigonometría. Earl Swokowski
Límite I. Vicen Vives



II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Resolver triángulos oblicuángulos.



III. ACTIVIDADES Y ASIGNACIONES

1. Leer reflexivamente el material de apoyo sobre los temas detallados a continuación:


Trigonometría
 Solución de triángulos oblicuángulos
 Ley del seno
 Ley del coseno


2. Resolver las prácticas propuestas.

3. Estudiar el material sistemáticamente para realizar una prueba parcial.

IV. CONTENIDO
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.

Para resolver un triángulo cualquiera es necesario conocer tres elementos siendo por lo menos uno de ellos un lado. Es decir que se nos puede presentar las siguientes opciones:
- Caso a: dos ángulos y un lado.
- Caso b: dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
- Cado c: dos lados y el Angulo comprendido entre ellos.
- Cado d: tres lados.
Para calcular un elemento desconocido de un triángulo, es necesaria una fórmula que comprenda los tres elementos conocidos y el desconocido.


A. LEY DEL SENO
Consideremos un triángulo de ángulos A, B, Y C, y tres lados opuestos a, b, y c respectivamente.

Trazaremos una perpendicular desde cualquiera de los vértices hasta el lado opuesto o a la prolongación del lado opuesto (altura) y llamaremos D al punto de intersección y h la longitud de la perpendicular.










Busquemos la altura “h” en los triángulos que se han formado.

de donde obtenemos h = a Sen C

de donde obtenemos h = a Sen A

Este resultado lo hemos obtenido al trazar la altura desde B. Si trazáramos la altura desde otro vértice por ejemplo A, se obtiene

De donde se concluye en: conocida como: Ley del Seno.

LEY DEL SENO: en un triángulo cualquiera, las razones obtenidas al dividir cada lado entre el seno del ángulo opuesto, son iguales.

Se aplicará cuando se conozca:
- caso a: dos ángulos y un lado
- caso b: dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Observación: en el caso b, el problema puede tener 2 soluciones. (ver el ejemplo resuelto # 2)


B) LEY DEL COSENO

Consideremos un triángulo de ángulos A, B, Y C, y tres lados opuestos a, b, y c respectivamente.

Trazaremos una perpendicular desde cualquiera de los vértices hasta el lado opuesto o a la prolongación del lado opuesto (altura) y llamaremos D al punto de intersección y h la longitud de la perpendicular.










Consideremos el teorema de Pitágoras para el triángulo ADB:

c2 = h2 + (b + DC)2 (ecuación 1)

Como BDC es un triángulo rectángulo se obtiene:
h = a SenC (ecuación 2)
DC = -a CosC (ecuación 3) (negativo porque C es mayor de 90º y esta C2)

Ahora sustituimos las ecuaciones 2 y 3 en la 1:

c2 = h2 + (b + DC)2
c2 = (a SenC)2 + (b – a CosC)2
c2 = a2Sen2C + b2 – 2ab CosC + a2 CosC
c2 = a2 (Sen2C + Cos2C) + b2 – 2ab CosC
c2 = a2 + b2 – 2ab CosC

Si trazamos la perpendicular desde los otros vértices y repitiendo el procedimiento se obtiene: a2 = b2 + c2 – 2bc CosA y b2 = a2 + c2 – 2ac CosB

Estas tres ecuaciones reciben el nombre de la LEY DEL COSENO.

a2 = b2 + c2 – 2bc CosA b2 = a2 + c2 – 2ac CosB c2 = a2 + b2 – 2ab CosC
LEY DEL COSENO: el cuadrado de un lado cualquiera de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

Se aplicará cuando:
- caso c: dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
- Caso d: tres lados.


PROBLEMAS RESUELTOS.

Ejemplo # 1: resolver el triángulo A = 35º 26’ B = 47º 34’ a = 13.24










Se conocen 2 ángulos y un lado por lo tanto se aplica la ley del seno.



13.24 Sen 47º 34’ = b Sen 35º 26’



16.86 = b

Para obtener el lado restante se emplea cualquiera de las dos leyes obteniendo c = 22.67






Ejemplo # 2: resolver el triángulo b = 246 a = 197 A = 48º 10’










Se conocen 2 lados (a y b) y un ángulo opuesto a uno de los lados. Por lo tanto se aplica la ley del seno.



197 Sen B = 246 Sen 48º 10’




EJEMPLO # 3. Resolver el triángulo a=20; b =30, C = 11º









Se tiene 2 lados y el ángulo comprendido, por lo tanto emplearemos la ley del coseno.













PRÁCTICA # 2
RESUELVA LOS TRIÁNGULOS

1) a = 10 b = 12 C = 35º 40’
2) a = 7 b= 6 c = 4
3) A = 52º30’ B = 78º12’ c = 300.5
4) b = 25 c= 15 A = 45º
5) a = 17.44 b = 12 C = 36º 35’
6) a = 13 A = 20º B = 60º
7) a = 31.88 c = 35º B = 30º 47’
8) b = 23.86 A = 53º C = 96º
9) a = 124 b = 162 c = 200
10) b = 7 c= 4 C = 25º
11) a = 10.98 c = 11.36 A = 72º 19’
12) b = 8.25 b=7.63 A = 88º
13) a = 632.7 b = 82.46 C = 83º 23’
14) a = 30.52 b=24.37 c = 56º 13’
15) a = 624 c = 532 B = 122º
16) a = 3.141 b= 2.163 B = 122º
17) a = 50 c = 110 C = 150º’
18) a = 0.3214 b= 0.6217 C=43º 12’
19) b = 0.9813 c = 1.021 C = 78º 19’
20) a = 60 c= 30 B = 40º

C. Problemas de aplicación.

1. Los puntos B y C quedan en lados opuestos de un pantano. El punto A, accesible a B y a C queda en una orilla se mide AB, AC y el ángulo BAC, obteniéndose: AB = 2000 metros, AC = 3000 metros, y el ángulo BAC = 30º. Calcular la distancia de B a C.

2. Una escalera de 6.1 metros de longitud, esta recostada sobre un muro inclinado, de manera que alcanza una altura de 5 metros sobre dicho muro. Si la parte inferior de la escalera está a 2.5 metros de la base del muro, cual es la inclinación de éste. Respuesta. 103.79º

3. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 64º, un poste telefónico que esta inclinado 9º respecto a la vertical, hacia el sol, produce una sombra de 21 pies de longitud. Determine la longitud del poste. Respuesta33 pie.

4. Hallar la longitud del puente.





5. Hallar la altura de la montaña de la figura que se presenta a continuación:


6. Hallar la altura a la que se encuentra el globo de observación:


7. Un pueblo queda a un kilómetro al este de una carretera que va de norte a sur y se comunica con ella por medio de dos caminos cuyos rumbos, a partir del pueblo; son S 34º 40’ O y N 28º 50’ O. Un vendedor que va por la carretera en dirección norte decide pasar por el pueblo dejando la carretera y tomando por el primer camino y retornando a ella por el segundo camino. Calcúlese aproximadamente el exceso de camino recorrido por haber pasado por el pueblo.

8. Un porte vertical situado en una pendiente que forma un ángulo de 7º con la horizontal, proyecta hacia abajo de la pendiente una sombra de 36.3m de longitud. Si el ángulo de elevación del sol es de 26º, calcular la longitud del poste. Respuesta… 13.1


9. Se desea instalar el tendido eléctrico en un área rural; por lo cual se quiere conocer la longitud del cable eléctrico entre los dos postes.

TRIGONOMETRÍA

DATOS GENERALES.
1. Asignatura: Matemática XI Módulo I
2. Profesor: Samuel A. Castillo R.
3. Área: Trigonometría.
4. Tema: Introducción a la trigonometría
5. Fecha de ejecución:
6. Valor:
7. Bibliografía: Trigonometría Fredd Spark. Trigonometría. Earl Swokowski

II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Señalar los aspectos importantes de la evolución de la trigonometría.


III. ACTIVIDADES Y ASIGNACIONES

1. Leer reflexivamente el material de apoyo sobre los temas detallados a continuación:
Trigonometría
 Aspectos históricos

IV. CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

En esta edad tecnológica, las matemáticas son más importantes que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus clases, es cada vez más probable que usen las matemáticas en su trabajo y en la vida diaria: para operar equipos de computación, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, administrar las finanzas personales y ejecutar otras tareas para resolver problemas. Todo lo que aprendan en matemáticas y la manera en que adquieran ese conocimiento les proporcionará una preparación excelente para un futuro exigente y en constante cambio.

¿Que es la trigonometría?
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

La palabra trigonometría procede de tres vocablos tri: que significa tres; gonia: significa vértice, y metron medida. Es decir trigonometría es medida de triángulos. Se le ha definido también como la ciencia de la medida indirecta.

Por medio de la trigonometría pueden ser calculadas distancias que no se pueden medir directamente. Tal cálculo se realiza mediante seis razones que se denominan funciones trigonométricas.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.

Hiparco de Nicea

Fundador de la trigonometría, autor del primer catálogo de estrellas, que incluía la posición de 1026 aparte de proponer una clasificación de dichos objetos en diversas clases de acuerdo con su brillo. Sus teorías sobre la Luna y el Sol fueron reasumidas, tal cual, por Tolomeo. Determinó la distancia y tamaño tanto del Sol como de la Luna. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios. Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.

Tolomeo (c. 100-c. 170)

Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus él Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.

El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 - h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo.

La trigonometría desarrollada por árabes

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.

Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.

“Tratado del cuadrilátero” de Nasir al - Din al - Tusi (1201 - 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao.. . Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.

La trigonometría en Occidente

El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.

Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 - 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. . Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.

La trigonometría en los tiempos modernos

En el s. XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.

También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

Isaac Newton
El más grande de los matemáticos ingleses. Su libro "Principia Mathemáthica" basta para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matemáticas. Descubrió simultáneamente con Leibnitz el Cálculo diferencial y el Cálculo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre. Según Leibnitz "Si se considera la matemática creada desde el principio del mundo hasta la época en que Newton vivió. Lo que él realizó fue la mejor mitad".

Leonhard Euler
Fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos.

Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.