lunes, 6 de abril de 2009

TEMA # 1: SECCIONES CÓNICAS

REPÚBLICA DE PANAMÁ
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
MEDUCA
INSTITUTO DR. ALFREDO CANTÓN

GUÍA DE ESTUDIO AUTÓNOMO # 1
I Bimestre


I. DATOS GENERALES.
1. Asignatura: Matemática XII Módulo 1
2. Profesor: Samuel A. Castillo R.
3. Área: Geometría Analítica
4. Tema: Las cónicas.
5. Fecha de ejecución: 6 de abril del 2009.
6. Valor:
7. Bibliografía: - Geometría Analítica de Joseph Kindle
- Geometría Analítica de Stein Balou
- Geometría Analítica y Trigonometría Londoño y Bedoya

II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Hallar los elementos de la parábola a partir de su ecuación y viceversa.
2. Determinar los elementos de la elipse a partir de su ecuación y viceversa.
3. Determinar los elementos de la hipérbola a partir de su ecuación y viceversa


III. ACTIVIDADES Y ASIGNACIONES

1. Leer reflexivamente el material de apoyo sobre los temas detallados a continuación:


IV. CONTENIDO

GEOMETRÍA ANALÍTICA:

Estudia problemas geométricos desde un punto de vista algebraico, esto es, traduce figuras geométricas a ecuaciones algebraicas, trabaja con estas últimas para sacar conclusiones e interpretarlas, nuevamente en forma geométrica.

En esta guía deduciremos las ecuaciones de las figuras geométricas que se conocen con el nombre de secciones cónicas, estas son parábola, elipse e hipérbola.

El matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) fue el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y clasificarlas en tres tipos: elipses, hipérbolas y parábolas. Apolonio fue llamado El Geómetra de la Antigüedad.

Las elipses son las curvas que se forman cortando un cono con un plano que sólo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de sus aristas. Las hipérbolas son las curvas que se forman al cortar un cono con un plano que tocan los dos mantos del cono. Las parábolas son las curvas que se forman al cortar un cono con un plano paralelo a una de sus aristas.




En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En las que las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en un plano coordenada. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas.

Para iniciar nuestro estudio de las cónicas, las representaremos con el doblado de papel.
ASIGNACIÓN # 1.
Materiales: tres (3) hojas de papel, lápiz, regla y compás.

Siga las indicaciones que se presentan a continuación:

Primera hoja de papel:

1. Tracemos un segmento de recta LL’. (preferiblemente a la izquierda de la hoja).
2. Doblemos la hoja, de forma tal que coincidan los extremos del segmento.
3. Trace una línea “S” sobre el doblez, esta línea es perpendicular al segmento inicial.
4. Marque un punto F sobre la línea “S”. (no tome el punto muy lejos de LL’).
5. Marque un punto de LL’ y doble el papel de forma que este punto coincida con el punto F y trace la línea que forma el doblez.
6. Repita el paso anterior tomando diferentes puntos a lo largo de LL’. (entre más puntos de LL’ tome, mejor se apreciará la figura)

Segunda hoja de papel:

1. Tracemos una circunferencia. (preferiblemente al centro de la hoja)
2. Marcamos un punto fijo F dentro de la circunferencia.
3. Marque un punto sobre la circunferencia y doble la hoja, de forma tal que este punto coincida con el punto F; trace la línea que deja el doblez.
4. Repita el paso anterior tomando diferentes puntos a lo largo de la circunferencia. (entre más puntos use, mejor se apreciará la figura)

Tercera hoja de papel:

1. Tracemos una circunferencia. (preferiblemente al centro de la hoja)
2. Marcamos un punto fijo F fuera de la circunferencia.
3. Marque un punto sobre la circunferencia y doble la hoja, de forma tal que este punto coincida con el punto F; trace la línea que deja el doblez.
4. Repita el paso anterior tomando diferentes puntos a lo largo de la circunferencia. (entre más puntos use, mejor se apreciará la figura)

Existen otras formas, o métodos para trazar las cónicas. ( cortando un cono, con regla y compás).

Empleando lo obtenido en la primera hoja procedemos a deducir la ecuación de la parábola.

elonesc@hotmail.com