domingo, 14 de noviembre de 2010

TEMA # 2 ELIPSE



“Dios es el gran geómetra. Dios geometriza sin cesar” PLATÓN.

LA ELIPSE

En esta sección vamos a hacer un estudio de uno de las cónicas llamadas elipses. El estudio lo empezaremos presentando el siguiente aspecto histórico:

“El Jardinero y la Cuerda”
Toussaret fue un jardinero de la corte de Luis XVI de Francia, y era ya un viejo, con las espaldas encorvadas a fuerza de trabajar y sobre todo de hacer reverencias. Además de Toussaret, había muchos jardineros bajo el sol de Luis XVI, quien, pasó a la historia por su elegante modo de vivir. Realmente Toussaret no fue ningún jardinero del otro jueves, pero le haríamos enfermar del disgusto si dijéramos que fue un simple peón de jardinería. Por lo tanto, seguiremos hablando de Toussaret, el jardinero, aun a sabiendas de que nunca fue muy allá, y de que fue más bien un bicho raro: su propio maestro opinaba que mientras trabajaba dormía con los ojos abiertos.

En todo caso, podemos imaginarnos a Toussaret en un caluroso día de verano, arrastrando una carretilla por el parque de Versalles, con los útiles de trabajo para plantar en un rincón un macizo redondo de unas flores raras que los colonos de Québec habían enviado al rey.

En el lugar asignado, encontró también una estaquilla en el sitio donde el maestro quería que estuviese el centro. Además, le había dicho que el diámetro había de tener seis pasos de longitud; y como Toussaret no era precisamente famoso por su memoria, lo primero que hizo fue medir los seis pasos antes de que se le olvidara el numero. Después se puso a preparar la cuerda con la que iba a trazar el circulo.

En aquel entonces a los jardineros les resultaba más cómodo utilizar la cuerda doble, y variar su longitud mediante un nudo: así resulta un gran lazo, con el que se rodea la estaquilla; después se introduce en el también el aguijón, y con este se va trazando él circulo. Así lo hacia también Toussaret; Sólo que la desgracia, o la fortuna, como se le quiera llamar, hizo que le lazo que nuestro hombre arrojar a la estaquilla se enganchase también en un esqueje aislado, situado un par de pasos más allá, y que dicho sea de paso en descargo de Toussaret, muy bien podría pasar inadvertido a cualquiera.

Sin embargo, los que pasó después ya no era tan fácil que ocurriera a ningún otro jardinero que ocurriera a otro jardinero de la corte, no siendo al simple Toussaret. Como hemos dicho, la cuerda se quedó aprisionada en la segunda estaca; Toussaret fue lo bastante como para no darse cuenta, y trazó tranquilamente su línea; Quito la hierba, removió la tierra y la abono a conciencia. Por la tarde tenía un sorprendente sembrado de tierra negra y brillante que daba gloria verlo. No fue así, por cierto, como pensó el maestro jardinero, que se enojo cuando vio la figura de huevo macizo que Toussaret había preparado. Pero como el bandido se había ido ya a su casa, no le quedo mas remedio al, maestro que descargar su ira gritando en medio del apacible parque las más escogidas palabras de su interminable repertorio, muy apropiado, por cierto, a un jardinero real.

El escándalo distrajo al duque de Grandlieu, y le hizo bajar salir de sus obstinados pensamientos que para no desentonar de esta historia de círculos frustrados, giraban alrededor de la bella marquesa de P. Como por otra parte; el duque era amante también de los caballos, y estaba acostumbrado al lenguaje de las cuadras, el tono del jardinero lo predispuso favorablemente, y se acerco a enterarse de lo sucedido.

Lo que vio, sin embargo, no fue un macizo deforme, sino un trazado bastante grandioso; y es más: le recomendó al jardinero que se frotase los ojos, y admirase la armonía de la figura.


El maestro volvió su cólera, y su sentido de las formas, que al fin y al cabo le había llevado al puesto de mayor de la corte del Rococó. Le permitió darse cuenta de que Toussaret había hecho algo verdaderamente sobresaliente.

Entonces, el buen hombre se fue corriendo a la taberna de Kergarouet, en St.-Cloud, a la orilla del río, donde solía pasar Toussaret la tarde. Lo busco entre el humo de la taberna y al fin lo encontró jugando al mus cerca de la chimenea: se dejo caer junto al viejo, y pidió una botella para beberla a la salud del genio de la forma recién descubierta.

Sin embargo, todo ocurrió como tenia que ocurrir: Toussaret no se había dado cuenta de que pudiera haber hecho otra cosa que no fuera un círculo, y ni aun con la mejor voluntad pudo explicar como había conseguido el tazado de aquella magnifica figura.

Sea como fuese, Toussaret había vuelto a descubrir aquella maravillosa figura que los antiguos griegos conocieron bajo el nombre de elipse. Míseramente el descubrimiento de Toussaret se elevo como una cometa para desplomarse en la nada.

DOBLADO DEL PAPEL
Una vez hemos conocido como se formo la elipse presentaremos otra forma de obtener la elipse a través de lo que conoceremos como el doblado de papel.

Para formar la elipse por este método se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se toma una hoja de papel
2. Se traza una circunferencia
3. Se coloca un punto F cualquiera dentro de la circunferencia
4. Se marca un punto sobre 6 circunferencias.
5. Se dobla la hoja de forma tal que el punto de que el punto que esta sobre la circunferencia quede sobre el punto F.
6. Se marca la recta que se forma en el dobles.
7. Se toma otro punto sobre la circunferencia y se repiten los pasos 5 y 6.
8. Se repite el procedimiento continuamente hasta formar la elipse.

La figura que se forma es la siguiente.


Hay muchas formas de producir elipses
v Cada vez que bebemos agua en un vaso cilíndrico la superficie del contenido toma l forma de una elipse o cuando encendemos una linterna.

v Al reducir (o ampliar) proporcionalmente las cuerdas paralelas de una circunferencia aparece una elipse


DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE

Para deducir la ecuación tomaremos la figura que se ha obtenido del jardinero y por el doblado de papel y trasladándola ha un eje de coordenadas.
La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.




FORMAS DE LA ELIPSE:
Una vez encontrada la ecuación presentaremos una síntesis de dos formas en la cual se puede presentar la elipse:



Se puede observar en nuestro alrededor distintas formas en el cual se puede describir la elipse ya sea de una orbita, arcos, engranajes y otros ejemplos elípticos

Otras Aplicaciones

Las orbitas de los planetas, como demostró Kepler, son elipses con el sol en uno de sus focos, aunque su excentricidad es tan pequeña que se asemeja a una circunferencia.
La elipse tiene una interesante propiedad de reflexión.



Si se hace girar una elipse se obtiene una elipsoide. En una estancia de trecho elipsoidal cualquier susurro en uno de los focos es oído con nitidez en el otro, aunque alrededor haya bullicio. En Washington hay una cámara del eco construida con estas características. y si el techo fuera reflectante, una bombilla encendida en un foco bastaría para hacer arder una cerilla situada en el otro.


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Cada una de las siguientes elipses esta en posición ordinaria y tiene su centro en el origen. Indicar cual es su ecuación, si satisface las condiciones adicionales dadas: Un vértice en (0,4), pasa por (1,2).

2. Determine la ecuación de la elipse de centro en el origen que satisfaga cada una de las siguientes condiciones; f(0,6) y e=1/2.

3. Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se indican:
a) Focos(±4,0), vértices(±5,0)
b) Longitud del lado recto = 5, vértices(±10,0)
c) Focos(0,±6), semieje menor = 8
d) Focos(±10,0), excentricidad

4. Hallar la ecuación de la elipse de centro (4,-1); uno de los focos es (1,-1) y que pase por el punto (8,0)
5. Hallar la ecuación de la elipse de centro(3,1); uno de los vértices (3,-2) y excentricidad
6. Hallar la ecuación de la elipse de focos(±8,0) y que pasa por el punto(8, )

7. Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, focos en el eje x, y que pase por los puntos(-3,2 ) y (4, ).

8. Hallar el lugar geométrico de los puntos (x,y) cuya distancias a los puntos fijos (2,-3) y (2,7) sea igual a 12.

9. Dada la ecuación 9x2 + 16y2 + 96y + 36 = 0. hallar a) las coordenadas del centro. b) El semieje mayor. c) El semieje menor. d) Los focos. e) La longitud del lado recto.

10. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (0,1)(1,-1)(2,2)(4,0) y cuyos ejes son paralelos a los de coordenadas.


Problemas de aplicación

1. Un arco de 80 metros de luz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altura máxima es de 30 metros, hallar la altura del arco en un punto situado a 15 metros del centro.

2. La Orbita dela tierra es una elipse el sol es uno de los focos, sabiendo que el semieje mayor de la elipse es de 148,5 millones de Km y la excentricidad 0,017 hallar la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol
3. El recorrido del lanzamiento de un proyectil describe una semielipse; El lugar de caída del proyectil esta a 16 Km del lugar de lanzamiento; si 0,4 Km antes del lugar de la caída, el proyectil estaba a una altura de 6 Km, ¿
6 km
4. Cada una de las siguientes elipses esta en posición ordinaria y tiene su centro en el origen. Indicar cual es su ecuación, si satisface las condiciones adicionales dadas: Un vértice en (0,4), pasa por (1,2).
5. Determine la ecuación d la elipse de centro en el origen que satisfaga cada una de las siguientes condiciones; f(0,6) y e=1/2.
6. Si una elipse tiene su centro en el origen, un foco en f (3,0) y un extremo del eje mayor en A (5,0), ¿Puede tener un extremo del eje menor en B(0,3)?, ¿Por que?.
7. La cuerda trazada por cualquier foco de una elipse y perpendicular a su eje mayor recibe el nombre de Latus Rectum de la elipse. Muestra que su longitud es 2b/a (aquí va un cuadrado al lado de la b)
8. Indique cuales son las ecuaciones de las elipses que están en una posición ordinaria, con centro en O y que satisfacen las siguientes condiciones: Eje mayor 6, eje menor 4. Eje mayor paralelo a “y”.

2 comentarios:

María de las Mercedes Moya dijo...

Muy buena entrada. Solo para construir un poco más... sería conveniente que se utilizaran imágenes para colocar las ecuaciones. Pues no quedan muy claras tal como están realizadas. Una sugerencia constructiva, que a mi criterio quedaría muchísimo mejor la información. Muy completa. Un gusto visitar este Blog.

María de las Mercedes Moya dijo...

Muy buena entrada. Solo para construir un poco más... sería conveniente que se utilizaran imágenes para colocar las ecuaciones. Pues no quedan muy claras tal como están realizadas. Una sugerencia constructiva, que a mi criterio quedaría muchísimo mejor la información. Muy completa. Un gusto visitar este Blog.