DERIVADA

El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. También en las ciencias sociales como la Economía y la Sociología  se utiliza el análisis matemático para explicar la rapidez de cambio en las  magnitudes que les son propias.

Conocer la variación de una función en un intervalo grande no informa suficientemente bien en el sentido de entender como se produce dicha variación. Se necesita estudiar variaciones de la función en intervalos cada vez más pequeños para llegar a entender el concepto de variación instantánea o referida a un punto, es decir el de derivada en un punto.

Un hallazgo importante en el estudio de la derivada  de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.

El concepto de derivada segunda  de una función - derivada de la derivada de una función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda.

La derivabilidad de una función en un punto (propiedad relativa a la existencia de tangente en un punto) está asociado al de continuidad. Este aspecto también será tratado en esta unidad.

Finalmente veremos la relación que tiene la derivada  con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo benefício, mínima aceleración, mínima distancia, etc).

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN (DEFINICIÓN)
Dada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe,

y representa desde le punto de vista geométrico la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de abcisa x=a.

REGLAS DE DERIVACIÓN

El proceso descrito anteriormente es conocido como derivada por definición, podemos encontrar estos resultados empleando una síntesis de los resultados:

LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. 

Ejercicio nº 1)   Sol:   Ejercicio nº 2)   Sol:   Ejercicio nº 3) Sol:   Ejercicio nº 4) Sol: Ejercicio nº 5)   Sol:   Ejercicio nº 6) Sol: Ejercicio nº 7) Sol: Ejercicio nº   Sol:   Ejercicio nº 9) Sol:

Derivada de una función potencial: Forma simple

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.

Ejercicio nº 10)  Sol: Ejercicio nº 11) Sol: Ejercicio nº 12) Sol :  Ejercicio nº 13) Sol:   Ejercicio nº 14)   Sol:   Ejercicio nº 15)   Sol:

LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funciones

Ejercicio nº 16)  Solución:  Ejercicio n°17 Solución Ejercicio n° 18 Solución Ejercicio n°19  Solución:   Ejercicio n°20  Solución Ejercicio n° 21  Solución Ejercicio n°22 Solución Ejercicio n°23 Solución

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función

Ejercicio nº 24)  Solución: Ejercicio nº 25)  Solución:   Ejercicio nº 26)  Solución:   Ejercicio nº 27)  Solución:

LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES  es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado

Ejercicio nº 28)  Solución:   Ejercicio nº 29)  Solución:   Ejercicio nº 30)  Solución:   Ejercicio nº 31)  Solución:   Ejercicio nº 32)  Solución: