tema # 3:HIPERBOLA

APLICACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

Marchemos al espacio para observar un asteroide que vaga libremente. Su trayectoria será rectilínea (Ley de Newton) hasta que se vea perturbada por la proximidad de un planeta, por ejemplo, cuya tracción comienza a curvarlo.

En raros casos el asteroide, será “capturado ” por el planeta y caerá hacia él o pasara a moverse siguiendo una orbita elíptica a su alrededor. Pero lo más probable es que describa una trayectoria como la indicada: una rama de hipérbola.
La asíntota de la izquierda marca la trayectoria que tendría el asteroide sin la influencia del campo gravitatorio del planeta. La atracción, mayor a menor distancia, obliga al asteroide a cambiar cada vez más rápidamente de dirección. Cuando el asteroide se aleja del planeta decrece paulatinamente la atracción y el movimiento tiende, de nuevo, a ser rectilíneo: aparece la segunda asíntota.

Las rectas que unen los focos con cualquier punto de una hipérbola forman ángulos iguales con la tangente a la hipérbola en dicho punto. Por tanto, si la superficie de un reflector, es generada por la revolución de una hipérbola alrededor de su eje transverso, todos los rayos de luz provenientes del exterior que converjan sobre un foco, se reflejara pasando por el foco. Esta propiedad se emplea a veces en ciertos telescopios juntos con reflectores parabólicos.

La diferencia de los tiempos en que un sonido se oye en dos puestos de escucha distintos, es proporcional a las distancias que separan a las fuentes sonoras de los puestos de escucha. Se sabe, por lo tanto, que este punto está sobre una hipérbola.
Si se emplea un tercer puesto de escucha para poder determinar otra hipérbola. Si se escucha la fuente sonora esta en la intersección de las dos curvas. Consecuentes el concepto de hipérbola resulta útil en los cálculos de alcances balísticos.

La Ley de Boyle, pv= C, es una relación hipérbola. Esto mismo se puede afirmar de la relación que existe entre dos cantidades. Cualesquiera que sean inversamente proporcionales.

FORMAS DE LA HIPERBOLA

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.Hallar
a.Los vértices
b.Los focos
c.La excentricidad
d.El latus rectum; y las ecuaciones de las asíntotas de las hipérbolas siguientes:

A) 4x2 – 45y2 = 180
B) 9x2 – 16y2 – 36x – 32y – 124 = 0

2.Hallar la ecuación de la Hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, excentricidad 2 y la longitud del latus rectum igual a 18.

3.Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (-6, -4) y (2, -4) sea igual a 6.

4.Hallar la ecuación de la hipérbola de centro (0,0), un vértice en (3,0) y ecuación de una asíntotas 2x – 3y = 0.

5.Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices (±6,0) y asíntota 6y = ±7x.

6.Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje sobre los de coordenadas y que pase por los puntos (3,1) y (9,5).

7.Hallar la ecuación de la hipérbola con centro (-4,1), un vértice en (2,1) y semieje imaginario igual a 4.

8.Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas “y”, longitud del lado recto es 36 y la distancia entre los focos es 24.